РЕДУКТОР |
Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.
Куратор
Вот 3 задачи для освежения (или освежевания) отупевших в Бауманке мозгов
1. Пусть $f(x)= \sin(x^{13}+x^{15})$. Найти $f^{(43)}(0)$.
2. Найти $\lim_{x \to 0} \frac {\sin(sh x) - sh (\sin x)}{x^7}$.
3. Найти $\lim_{x \to 0} \frac {\sin(tg x) - tg (\sin x)}{\arcsin (arctg x) - arctg (\arcsin x)}$
Графоман
Ой мочна, ох мочна. Пошёл думать. Это в секретном институте?
КураторОй мочна, ох мочна. Пошёл думать. Это в секретном институте?
Да вроде не очень он секретный-то. И не очень, видимо, "мочна".
КураторА я не понял? Решить желающих нету?
Или ниасилил никто?
ГрафоманВ первом случае 0. Потому если только синус n раз продифференцировать там получится косинус * (x^13+x^15)^n, если n - нечётное и тоже, но умноженное на синус, если чётное. Хоть так хоть сяк - будет ноль, потому что множитель с иксами ноль будет. Вопрос в том, можно ли добиться такого, чтобы этот множитель исключить последующим дифференцированием? Думаю, что нет, так как для этого нужно продиффиренцировать всего 43 раза. Из них 15*n "израсходовать" на "уничтожение" (x^13+x^15)^n. Но как видно, ни при n=1 ни при n=2 такого не получается.
Несколько корявое объяснение, но я думаю, меня поймут.
КураторНавскиду, в последнем будет 0, а во втором что-то очень маленькое, тоже близкое к 0.
"Навскиду" = маткад посчитал? 
Наверно, просто никому не хочется чувствовать снова себя перокурсниками)
Типа: "Да умеем мы это всё, так что даже время лень тратить на такие пустяки"
Если бы ты знал, откуда эти задачи, ты бы так не утверждал. Они даже не каждому мехматянину по силам.
Хотя, в первом непонятно, это степень функции или порядок производной.
Если в скобках, то порядок призводной.
Активный участник
В последнем мне кажется будет что-то аццки хитрое, помнится в физтеховском задачнике такое было, так мне тогда пришлось ф-ию чуть ли не в ряд Тэйлора раскладывать.
КураторВ последнем мне кажется будет что-то аццки хитрое, помнится в физтеховском задачнике такое было, так мне тогда пришлось ф-ию чуть ли не в ряд Тэйлора раскладывать.
В этой задаче в ряд раскладывать нельзя. В плане, надо найти другой способ. На это и рассчитано.
КураторЕще зодачга ---- Что произойдет с матрицей линейного оператора, если в базисе, в котором она задана, поменять местами два вектора? (Канатников предложил на семинаре).
Здесь, все-таки, преимущественно инженеры собрались. Тут алгебра никого не интересует - этим пусть занимаются великие ученые... которым делать нечего (с, Леонов)
Я сначала использовал свойства бесконечно малых, а потом все это жахнул по формуле Маклорена.
А без Маклорена слабо?
Я ж писал, что разложение в ряд использовать нельзя.
КураторВ первом случае 0. Потому если только синус n раз продифференцировать там получится косинус * (x^13+x^15)^n, если n - нечётное и тоже, но умноженное на синус, если чётное. Хоть так хоть сяк - будет ноль, потому что множитель с иксами ноль будет. Вопрос в том, можно ли добиться такого, чтобы этот множитель исключить последующим дифференцированием? Думаю, что нет, так как для этого нужно продиффиренцировать всего 43 раза. Из них 15*n "израсходовать" на "уничтожение" (x^13+x^15)^n. Но как видно, ни при n=1 ни при n=2 такого не получается.
Несколько корявое объяснение, но я думаю, меня поймут.
Очень похоже на правду. Правда не строго, мягко говоря, ну да ладно. Я почему-то только сейчас это сообщение увидел.
p.s. Граждане, а как же задачи №2 и 3 ? Их никто не осилил?
В первом случае не 0, а совсем даже наоборот -43!/2.
Действительно:
sin(y) = y - y^3/6 + ...
Подставляем y = x^13 + x^15
sin(x^13 + x^15) = x^13 + x^15 - x^39/6 - x^41/2 - x^43/2 - x^45/6+...
= ... + f^(43)(0)*x^43/43! +...
отсюда получаем f^(43)(0) = -43!/2
Правда это получено с использованием запрещенного приема: разложения в ряд.
NORG, может быть Вы расскажете, как все-таки эти задачи решаются
без использования разложения в ряды?
Всё же в первом без рядов сложно... В самом деле - ну не дифференцировать же 43 раза
P.S. А ведь будь производная чётной (например 46-я производная), то было бы очень просто:
сама f(x) - нечётная, чётная её производная даёт снова нечётную функцию, а нечётная функция в нуле равна нулю...
Отредактировано Алексей (01.10.07 05:28:49)
КураторNORG, может быть Вы расскажете, как все-таки эти задачи решаются
без использования разложения в ряды?
Постараюсь. Для этого мне надо либо их найти, либо самому решить. Сейчас пока ни то ни другое не получается по причине отсутствия времени.
Но я очень рад, что вы заинтересовались задачами. Может быть это значит, что стоит, по ходу дела, выкладывать и другие в этой теме?
Частый гость
sin(y) = y - y^3/6 + ...
Подставляем y = x^13 + x^15
sin(x^13 + x^15) = x^13 + x^15 - x^39/6 - x^41/2 - x^43/2 - x^45/6+...
= ... + f^(43)(0)*x^43/43! +...
отсюда получаем f^(43)(0) = -43!/2
Я не поняла. А не можно ли поподробнее последний переход?
Я не поняла. А не можно ли поподробнее последний переход?
С одной стороны функцию, представляющую собой синус сложного аргумента, Nick_ag расписывает как
f(x) = sin(x^13 + x^15) = x^13 + x^15 - x^39/6 - x^41/2 - x^43/2 - x^45/6+...,
с другой стороны, эта функция разложена им в ряд Маклорена:
f(x) = f(0) + f'(0)*x + ... + f^(43)(0)*(x^43)/43! + ... ,
а далее, т.к. ряды совпадают, то должны совпадать и соотв. коэффициенты при соотв. степенях икса - в частности при (x^43), т.е.
- 1/2 = f^(43)(0)/43!, следовательно f^(43)(0) = -43!/2.
Отредактировано Алексей (07.10.07 00:38:03)
Частый гость2 Алексей:
Гениально!!! Спасибо!
:thank_you:
ГрафоманХм. Круто. Интересно теперь понять, где же я ошибся.
КураторЗадачи Бауманской олимпиады по математике - 2008 для старших курсов
(если кому интересно)
Задача 1. При каком значении параметра k минимально расстояние между фокусами гиперболы $y=\frac{1}{x}+kx$.
Задача 2. Функция f(x,y) непрерывна в круге $\{x^2+y^2<2 \}$. Доказать, что для всякого a принадлежащего (0;2) существует квадрат ABCD со стороной a, такой, что
$f(A)+f(C)=f(B)+f(D)$.
Задача 3. Вечером встретились 5 хамелеонов разных цветов. За ночь каждый поменял свой цвет на один из 4 других цветов, выбирая цвета с равными вероятностями и независимо от других хамелеонов. Найти вероятность того, что утром эти 5 хамелеонов вновь окажутся разных цветов.
Задача 4. Пусть А - матрица n х n, все элементы которой равны c; I - единичная матрица n х n.
Вычислить det(I+A).
Задача 5. Скорость относительного прироста (% в год) населения острова пропорциональна числу, на которое население меньше числа М. Найти М, если известно, что в 1920 году на острове было 6 тыс. жителей, в 1960 - 10 тысяч, а в 2000 - 15 тысяч.
Задача 6. Вычислить сумму ряда $\begin{eqnarray}\sum_{n=1}^{\infty} \frac {n^2}{2^n} \end{eqnarray}$.
_________________________________
Если кто знает решения или ход решения, то выкладывайте сюда.